S. Klevinskas gimė ir užaugo Marijampolėje, „Sūduvoje“ pradėjo ir profesionalo karjerą.
Gimtajame klube S. Klevinskas rungtyniavo 2001–2009 metais, buvo komandos kapitonu, tapo 2007 metų Lietuvos vicečempionu, 2005 ir 2009 metų bronzos medalių laimėtoju, taip pat 2006 ir 2009 metais iškovojo LFF taurę bei 2009 metų supertaurę.
Vėliau marijampoliečio kelias vedė į Jerevano „Mika“ (2010), Vilniaus „Žalgirį“ (2010–2011) ir Maskvos „Torpedo“ (2011–2014). Žaisdamas Rusijoje, 2011-aisiais S. Klevinskas buvo išrinktas geriausiu šios šalies I lygos vartininku.
2014-ųjų pabaigoje vartų sargas grįžo į „Žalgirį“, kuriam atstovavo iki 2017-ųjų vasaros, o sezoną S. Klevinskas baigė Vilniaus „Vytyje“, kuriam padėjo I lygoje laimėti bronzos medalius ir pasiekti LFF taurės turnyro pusfinalį.
Šiuo metu „Sūduvoje“ liko du vartininkai – kroatas Ivanas Kardumas ir 18-metis Vilius Stebrys, o pamainos S. Klevinskui dar ieškoma.
